Координатные преобразования


С  целью  упростить  решение  задач  анализа  и  синтеза  процессов  в  машинах  переменного  тока  широко  применяется  метод  преобразования  координат.  Координатные  преобразования  позволяют  упростить  уравнения  электромагнитных  процессов  машины  за  счет  устранения  гармонических  коэффициентов  в  параметрах,  коэффициентов,  связанных  с  неортогональностью  магнитных  осей  фазных  обмоток;  за  счет  разделения  процессов  на  симметричные  составляющие  ненулевой  и  нулевой  последовательности  фаз.   В  частном  случае  симметричных  процессов (нейтральная  составляющая  отсутствует)  уменьшается  общее  количество  уравнений.  Широкое  распространение  при  анализе  и  синтезе  процессов  в  ЭП  переменного  тока  получила  ортогональная  система координат (x,y,z), вращающаяся с произвольной частотой  ωk .  Плоскость x0y  совпадает  с  поперечным  сечением  машины,  ось z  направлена  вдоль  вала.  Важными  частными  случаями  данной  системы  координат являются:
–  неподвижная  относительно  статора  система  координат  ( α ,β,γ ),  получаемая  из (x,y,z)  при  ωk=0   и  ориентации  оси  α  вдоль магнитной оси фазы А статора;  –  ортогональные  системы  координат (d,q,0),  ориентированные  по  одному  из  векторов  машины.  В  качестве  ориентирующих  могут  применяться  намагничивающие  составляющие  изображающих  векторов  электромагнитных  переменных   (напряжений,  токов,  потокосцеплений, ЭДС) либо одна из магнитных осей ротора. Например, при ориентации  по  вектору  потокосцепления  ротора:  ωk=ωψ ,  ось  d  ориентирована по вектору  ψr .   Геометрическая  интерпретация  преобразований  координат  представлена на рис.2.1.

Линиями A,B,C обозначены оси фазных обмоток статора, линиями  a,b,c –  оси  фазных  обмоток  ротора.  Результирующие  векторы

 Координатные преобразования

определены своими проекциями в естественных  координатах  статора  и  ротора  соответственно.  Под  переменной V понимаются напряжения, токи, потокосцепления. Выполним  преобразование переменных из естественных систем координат статора  и  ротора  в  систему  координат (x,y,z).  Такие  преобразования  называются прямыми.  Формулы прямого преобразования для переменных статора:

 Координатные преобразования%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B91 Координатные преобразования

 

Рис.2.1. Преобразование координат

Формулы прямого преобразования переменных ротора:

 Координатные преобразования

Формулы обратного преобразования для переменных статора:

 

 Координатные преобразования

Формулы обратного преобразования для переменных ротора:

 Координатные преобразования

На  основе  приведенных  общих  формул  могут  быть  получены  удобные  формы  записи  координатных  преобразований  для  частных  случаев. Рассмотрим некоторые из них.

1. Прямое и обратное преобразование из (A,B,C) в ( α ,β,γ ) в векторно-матричной форме записи. Получается из преобразования к (x, y,  z) при ωk=0 .
 Координатные преобразования

 Координатные преобразования

2.  Переход  от  неподвижной  системы  координат ( α ,β, γ)    к  вращающейся  системе (d, q,  0),  повернутой  на  угол  kϕ ,  и  обратно  (рис.2.2)  выполняется по следующим соотношениям:

 Координатные преобразования

 Координатные преобразования

Рис.2.2. Преобразование ( α ,β, γ)  к вращающейся системе (d, q, 0),  по-вернутой на угол  Ψk

    3. В частном случае, когда составляющие нулевой последовательности фаз отсутствуют, например, если обмотки машины соединены в  звезду  без  нулевого  провода,  то  выполняется  соотношение

 Координатные преобразования

 и  третья  координата  векторной  переменной  оказывается  линейно  зависимой  от  двух  остальных  координат.  Порядок  координатных преобразований уменьшается на единицу.
 Координатные преобразования  Координатные преобразования

или в векторно-матричной форме

 Координатные преобразования

Из (α,β) в (A, B, C):

 Координатные преобразования

Из (α,β)в (d, q)  и обратно:

 Координатные преобразования

Непосредственно из (A, B, C) в (d, q) : из (2.1) с учетом

 Координатные преобразования

 Координатные преобразования

Преобразуя разности косинусов и синусов согласно известным тригонометрическим выражениям

 Координатные преобразования

получим

 Координатные преобразования

Из (d, q)   в  (A, B, C):

 Координатные преобразования

  Иногда для анализа и синтеза систем управления приводами переменного  тока  более  удобным  оказывается  представление  переменных  и  уравнений  в  полярной  системе  координат.  В  ряде  случаев  применяются также бескоординатные (тензорные) математические модели.  В полярной системе координат результирующий вектор  V  задается своим модулем (амплитудой) V и угловым положением относительно  одной  из  координатных  осей,  например  фазы  A  естественной  системы координат  ϕ  (рис.2.3).

Связь представления вектора в полярной системе координат с другими  координатными  системами  определяется  следующими  соотношениями.

 Координатные преобразования

Рис.2.3. Представление результирующего вектора в полярной системе координат

Для координат (A, B, C) при условии

 Координатные преобразования

 Координатные преобразования

Для координат ( α,β)

 Координатные преобразования

Реальные  соотношения,  используемые  в  системах  управления  приводами  для  вычисления  углового  положения,  отличаются  от  приведенных,  т.к.  результирующий  вектор  может  находиться  во  всех 4  квадрантах плоскости поперечного сечения машины, при этом обнуление  одной  из  координат  может  приводить  к  неопределенности  типа  «деление на нуль».  Чтобы  устранить  это  явление,  применяется  разбиение  векторной  плоскости на секторы, например, в соответствии с рис.2.4.

 Координатные преобразования

Рис.2.4. Вычисление углового положения результирующего вектора

  Если определена только операция  арктангенса в первом квадранте  изображающей плоскости, то ее следует разбивать уже не на 4, а на 8  секторов, в каждом задавая свою формулу для вычисления угла.   Очевидно, что представление результирующего вектора в плоскости поперечного сечения машины хорошо стыкуется с представлением  этого вектора на комплексной плоскости. Для этого достаточно действительную ось комплексной плоскости совместить с осью фазы A или  α . Тогда мнимая ось совпадет с осью  β .

 Координатные преобразования

Рис. 2.5.  Представление  результирующего  вектора  в  ортогональной  системе координат

Вычисление  частоты  вращения  вектора  по  его  проекциям  в  ортогональной системе координат осуществляется в соответствии с рис.2.5  по следующим выражениям:

 Координатные преобразования