Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания


Рассмотренные  выше  модели  АД  наиболее  широко  применяются  для  анализа  и  синтеза  процессов  в  электроприводах  с  векторным  управлением.  Однако  если  по  условиям  работы  АД   потокосцепления  претерпевают  существенные  изменения, то  желателен учет  изменения  параметров  математической  модели,  связанный  с  эффектом  насыщения  магнитной  системы.  Для  АД,  питаемых  от  преобразователей  частоты (ПЧ), обычно предполагают, что кратность выходных токов в рабочих  режимах  привода  ограничена (составляет  не  более 2—3  значений  номинального  тока  двигателя)  и  эффектом  насыщения  цепей  рассеяния  можно  пренебречь.  Тем  более  что,  как  показывают  исследования, эти изменения достаточно слабо влияют на динамические процессы.   Гораздо  более  существенно  сказывается  эффект  насыщения  цепи  намагничивания.  В  частности,  в  рабочих  режимах  привода  с  двигателями серии 4А индуктивность намагничивания  Lm может изменяться  до 30 %.
В  асинхронном  электроприводе  регулирование  потокосцепления  требуется в следующих режимах:

  1.  при  работе  привода  на  скоростях,  превышающих  номинальную  (во 2-й зоне регулирования скорости в режиме постоянства мощности),  происходит ослабление поля;
  2.  при  оптимизации  энергетических характеристик  привода  требуется  регулирование  потока  намагничивания  в  зависимости  от  нагрузки;
  3.  при  оптимизации  динамических  характеристик  привода,  в  частности  быстродействия  процессов «в  большом»,  также  требуется  регулирование потокосцепления.  Для  учета  эффекта  насыщения  используется  один  из  следующих  методов: метод статических индуктивностей либо метод динамических  индуктивностей. Последний — существенно более сложный. Для синтеза систем управления приводом обычно используется более простой  метод статических индуктивностей, дающий, тем не менее, достаточно  высокую точность в описании динамических процессов. В этом методе  нелинейность цепи намагничивания учитывается  статической зависимостью  между  потокосцеплением  и  током  намагничивания,  задаваемой таблично или с помощью аналитической аппроксимации:

 Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания

В  частности,  если  характеристика  намагничивания  задана  в  табличной  форме  совокупностью  точек  (Ψm.n ,Im.n),(n = 1,...,N),  то  для  ее аппроксимации удобно использовать следующую гладкую аналитическую функцию:
 Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания

Выбор  нечетных  степеней  полинома (3.15)  обеспечивает  симметрию  характеристики  относительно  начала  координат.  В  связи  с  возможным  разбросом  точек  исходного  массива  данных  коэффициенты  полиномиальной  аппроксимации  gi  находятся  методом  наименьших  квадратов.  Для  удовлетворительной  аппроксимации  характеристик  намагничивания  машин  нормального  исполнения (в  диапазоне  изменения  ig nommm Ψm=(0...1,3)Ψm nom,  включающем  зону  существенного  насыщения)  практически  достаточно  в  формуле (3.15)  ограничиться  k=4 , т.е.

 Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания

Применение  к  этой  функции  процедуры  полиномиальной  регрессии приводит к следующему матричному уравнению:

 Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания

 Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания

n ,N —  соответственно  порядковый  номер  и  общее  количество  точек  из массива исходных данных.

В  результате  решения  этого  уравнения  находятся  коэффициенты  полинома  gi   и  определяется  аналитическая  зависимость  кривой  намагничивания.

Отметим,  что  для  неявнополюсных  машин,  к  которым  относится  АД,  нелинейный  оператор  зависит  только  от  амплитуды  векторных  переменных и не зависит от их направления. Векторы тока и потокосцепления намагничивания остаются при этом сонаправленными.
С учетом этого математическая модель АД в преобразованной ортогональной системе координат, вращающейся с произвольной скоростью ωk , примет вид
 Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания

По  аналогии  с  рассмотренными  выше  преобразованиями  модели  (3.9)  данную  модель  также  можно  преобразовать,  записав  ее  относительно  выбранной  пары  векторных  переменных,  например  Is  и  Ψr, Ψs  и  Ψr и т.д.
В общем случае система нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений (3.16) решается итерационно. Однако если предположить, что между шагами расчета ток намагничивания изменяется  незначительно, то итерации можно исключить.

Иногда для описания процессов в машине удобно пользоваться не  абсолютными,  а  относительными  значениями  переменных.  Переход  к  системам  относительных (безразмерных)  переменных  и  параметров  осуществляется на основе их базисных значений [38].

На  рис.3.7  приведена  в  относительных  единицах  типовая  зависимость  Lmm) для двигателей серии 4А.
 Математическое описание АД с учетом насыщения цепи намагничивания

Рис.3.7. Типовая зависимость   Lmm)  для двигателей серии 4А