Математическое описание АД с учетом потерь в стали


Для  исследования  динамики  асинхронного  двигателя (АД)  и  решения  задач  синтеза  динамических  режимов  асинхронного  электропривода  наиболее  часто  применяются  математические  модели  на  основе уравнений Парка ⎯ Горева , не учитывающие потери в стали,  эффекты  насыщения  магнитной  системы  и  вытеснения  тока  в  стержнях ротора.   В некоторых режимах это приводит к существенным количественным и качественным отклонениям  расчетных динамических  и  статических  характеристик  привода  от  реальных.  Учет  каждого  из  этих  эффектов  в  отдельности  и,  тем  более,  их  совместное  рассмотрение  сопряжены  со  значительными  трудностями,  среди  которых  проблема  определения  параметров  модели;  сложные  зависимости  параметров  от  переменных  привода (токов,  потокосцеплений,  частоты  токов статора и ротора); существенное усложнение системы уравнений и  алгоритмов  расчета.  Известные  математические  модели  либо  учитывают только часть этих эффектов, например насыщение цепи намагничивания, либо настолько сложны, что плохо подходят для применения  в  задачах  анализа  и  синтеза  динамических  процессов  в  асинхронном  электроприводе,  в  частности  в  электроприводе  с  преобразователями  частоты. Особенно это проявляется при решении задач анализа и синтеза динамических процессов в реальном времени работы электропривода.
Важность задачи учета потерь в стали по крайней мере при работе  АД  с  нагрузками,  не  превышающими  номинальную,  определяется  существенным  вкладом  этих  потерь  в  суммарные  потери  машины.  Так,  для  АД  серии 4А  потери  в  стали  могут  составлять >20 %  от  полных  потерь  номинального  режима  и  >50 %  от  полных  потерь  холостого  хода.   Неучет  этих  потерь  при  анализе  энергетических  характеристик  привода приводит к существенным погрешностям. Небольшое влияние потери в стали оказывают также на величину и взаимную ориентацию  обобщенных  векторов  электромагнитных  переменных  АД (напряжения,  токов,  потокосцеплений)  в  статических  и  динамических режимах  работы.
Известен  подход   к  учету  потерь  в  стали  от  вихревых  токов  путем включения паралельно цепи намагничивания Т- образной схемы  замещения  двигателя  эквивалентных RL-  цепей  с  сосредоточенными  параметрами, отдельных для описания процессов в стали статора и ротора.  Основные  недостатки  данного  метода:  во-первых,  он  учитывает  только одну составляющую потерь в стали, тогда как потери от гистерезиса,  в  частности,  в  двигателях  серии 4А  на  номинальных  частотах  соизмеримы  с  потерями  от  вихревых  токов,  а  на  частотах,  меньших  номинальной, потери от гистерезиса могут существенно превосходить  потери от вихревых токов. Во-вторых, существует серьезная проблема,  связанная  с  определением  параметров  данных  эквивалентных  цепей,  особенно  индуктивности. Предложенный в метод основан на использовании дополнительной измерительной обмотки, встраиваемой в  двигатель, что само по себе неудобно, а также на сомнительном допущении,  что  во  всех  режимах  работы  коэффициент  отношения  индуктивного и активного сопротивлений эквивалентной цепи потерь в стали постоянен и равен 0,6. Это соотношение, введенное Л.Р. Нейманом,  было  использовано  в  для  случая  массивного  ротора  и  распространено в  на шихтованные сердечники. Строго говоря, это допущение можно считать справедливым только при явно выраженном поверхностном эффекте, при котором  ∆≥ 2mind ,  где  —  минимальный  геометрический  размер  массивного  участка  магнитопровода;  mind ∆— эквивалентная глубина проникновения.

 

Для  электротехнических  сталей  при  частоте 50  Гц ∆=(1...2) мм .  То  есть  для  шихтованных  стальных  сердечников  с  толщиной  листов  0.5 мм это условие не выполняется.

 

Известен подход к учету потерь в стали путем введения в систему  уравнений  Парка—Горева  угла  потерь.  Это  позволяет  не  увеличивать  общего  количества  дифференциальных  уравнений  системы. Основной  недостаток  такого  подхода  заключается  в  том,  что  при  частотном  управлении  угол  потерь  является  функцией  не  одной,  а  как  минимум  двух  переменных,  например  потокосцепления  взаимоиндукции  и  частоты.  Алгебраические  уравнения  связи  потокосцеплений  и  токов  при  этом оказываются довольно громоздкими.

Использование  традиционных  методов  учета  потерь  в  стали  путем включения дополнительных сопротивлений параллельно  либо  последовательно  цепи  намагничивания  эквивалентной  Т-  образной  схемы  замещения  фазы  АД  приводит  к  тому,  что  при  частотном управлении  эти  сопротивления  также  являются  функциями  как  минимум двух переменных.

Для  описания  динамических  процессов  АД  с  учетом  эффекта  насыщения  цепи  намагничивания  широко используются  два  метода: метод  статических  индуктивностей,  в  котором  индуктивность  намагничивания задается своей статической зависимостью , и метод динамических  индуктивностей.  Последний  является  существенно  более  сложным  и  применяется  реже.  Сравнение  результатов  расчета  переходных  процессов  прямого  пуска  АД,  выполненного  с  использованием обоих методов при прочих равных условиях , показывает их  близость друг к другу. Результаты расчетов должны сходиться практически  полностью,  если  для  расчета  индуктивностей  в  обоих  методах  используется одна и та же зависимость потокосцепления от тока взаимоиндукции  ψм=f (Im) ,  полученная  для  конкретного  типа  двигателя.

 

Далее  рассматриваются  основные  результаты  разработки  динамических моделей асинхронного двигателя, питаемого от преобразователя частоты, с учетом потерь в стали от гистерезиса и вихревых токов,  насыщения участков магнитной системы двигателя основным магнитным  потоком  и  потоками  рассеяния,  эффекта  вытеснения  тока  в  стержнях  короткозамкнутой  обмотки  ротора.   Основные  требования к модели: динамическая модель должна быть адекватна реальному  объекту  в  рабочих  диапазонах  изменения  всех  его  переменных;  иметь  минимальное  количество  дифференциальных  уравнений;  все  параметры модели должны быть либо константами, либо функциями одной из переменных  состояния;  количество  параметров  модели,  изменяющихся  в  зависимости  от  режима  работы  двигателя,  должно  быть  минимальным;  алгоритм  расчета  процессов  по  возможности  должен  быть  прямым, то есть не допускающим итераций.

 

При разработке модели были приняты следующие допущения:

  1. частота  основной  гармоники  и  частота  модуляции  выходного  напряжения  преобразователя  разнесены  таким  образом,  что «медленные» процессы могли рассматриваться независимо от «быстрых»;
  2.  имеется  симметрия  электрических  и  магнитных  цепей  двигателя;
  3.  потери в стали ротора пренебрежимо малы относительно других  видов потерь;
  4. эффект  насыщения  магнитной  системы  основным  магнитным  потоком и потоками рассеяния, а также эффект вытеснения тока в роторе  учитываются  зависимостями  параметров  АД  от  его  переменных,  полученными в установившихся режимах работы;
  5. пренебрегаем влиянием гистерезиса стали на форму токов и потокосцеплений двигателя.

Характер  изменения  переменных  и  параметров  АД  в  различных  статических режимах работы частотно-регулируемого электропривода  был исследован с помощью уточненной модели, построенной на основе  известных  методов  расчета  и  проектирования  АД  с  учетом  его  конструктивных  параметров  и  адаптации  методов  под  задачи  частотного  управления.  Показатели  точности  расчета  параметров  и  переменных  АД  этими  методами  относительно  экспериментальных  данных,  получаемых  на  реальных  объектах,  хорошо  известны  из  теории  электрических  машин.  В  качестве  примера  использования  данной  модели  для  расчета  параметров  АД  на  рис.3.11  представлены  зависимости активного сопротивления (Rr) и индуктивности рассеяния ротора (Lσr) от частоты тока ротора (а), зависимости индуктивностей рассеяния  статора (Lσs) и  ротора  от  тока  статора (б)  и  зависимость  индуктивности  взаимоиндукции (Lm) от  потокосцепления  взаимоиндукции  для двигателя 4А250S4У3, мощностью 75 кВт.

В качестве базовых значений переменных и параметров здесь приняты: номинальное значение тока статора; потокосцепление взаимоиндукции, полученное в режиме холостого хода при номинальных значениях  напряжения  и  частоты  статора;  активное  сопротивление  ротора,  индуктивности  рассеяния  статора  и  ротора,  полученные  в  режиме  холостого хода.
Из  анализа  зависимостей  видно,  что  в  распространенном  частном  случае частотного и векторного управления АД с ограниченными значениями частоты тока ротора (для указанного двигателя  fr <5 Гц) и  перегрузочной  способности  преобразователя  по  току  на  уровне  Imax≤2Inom параметры Rr,Lσs,Lσr  могут быть с высокой степенью  точности приняты постоянными. В случае если при управлении АД его  потокосцепление  изменяется  в  широких  пределах,  неучет  изменения  индуктивности взаимоиндукции будет приводить к существенным погрешностям в расчетах.

 

Метод  учета  потерь  в  стали  для  исследования  динамических  процессов в частотно-управляемом электроприводе основан на разделении  составляющих  потерь  на  потери  от  гистерезиса  и  потери  от  вихревых  токов. Дополнительно примем следующие допущения: суммарные потери  от  гистерезиса  пропорциональны  квадрату  потокосцепления  взаимоиндукции  и  частоте  основной  гармоники  поля;  суммарные  потери  от  вихревых  токов  пропорциональны  квадрату  потокосцепления  взаимоиндукции  и  квадрату  частоты.  Эти  допущения  позволяют  описать потери в стали с помощью введения в динамическую модель двигателя двух постоянных коэффициентов: коэффициента потерь от вихревых  токов  Rec (измеряется  в  омах),  коэффициента  потерь  от  гистерезиса  kh (измеряется в генри).

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

Рис.3.11. Зависимости параметров асинхронного двигателя 4А250S4У3 от  его переменных: а —Rr   и Lσr от частоты тока ротора; б — Lσs и Lσr   от тока статора; в — Lm  от потокосцепления взаимоиндукции

Оценка  грубости  таких  допущений  была  выполнена  для  ряда  типоисполнений АД серии 4А. В качестве эталона взята уточненная модель АД, выполненная с учетом его конструктивных параметров, принимаемых в расчет при проектировании асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором по методике. Исследования показали, что в диапазоне частот (0,1…2) fnom  погрешность оценки  потерь  в  стали  при  дополнительно  принятых  допущениях  относительно  их  значений,  полученных  на  уточненной  модели  АД,  не  превышает 2 %.  При  этом  определение  коэффициентов Rec  , kh  для  конкретного  типа  двигателя осуществляется  по  значениям  потерь  в  стали  (рассчитанным  или  экспериментально  определенным  по  известным  методикам)  в  двух  точках  рабочего  диапазона  частот  в  режиме  холостого хода двигателя.

    Уравнения,  описывающие  динамические  процессы  в  АД  с  учетом  потерь в стали и насыщения цепи намагничивания, запишем в векторной  форме  в системе  координат,  вращающейся  с  произвольной  частотой  ωk.

%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

Здесь Us —  вектор  напряжения  статора;

Is,Ir,Im, ψsrmвекторы  токов  и  потокосцеплений  статора,  ротора,взаимоиндукции;

 Iec, ψec —  векторы  тока  и  потокосцепления  эквивалентного  контура, учитывающего потери в стали от вихревых токов;

Rs , Rr — активные сопротивления  фаз  статора  и  ротора;

Lec   —  индуктивность  контура потерь  в  стали  от  вихревых  токов;

Z—  число  пар  полюсов;

J —  момент  инерции;

ωre —  частота  вращения  ротора  электрическая;

ωre=Zpωr, ωr — частота вращения ротора механическая.

      Соответствующая  схема  замещения  АД  представлена  на  рис.3.12.  Потери  в  стали  от  гистерезиса  учитываются  дополнительной  составляющей

   Математическое описание АД с учетом потерь в стали

   формирующей  фазовое  запаздывание  потокосцепления  взаимоиндукции  от  результирующего  тока  магнитной  цепи

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

При этом полагается, что гистерезис влияет только  на  фазу  тока  и  не  влияет  на  его  форму.  Для  магнитомягких  материалов  сердечников  это  допущение  не  является  грубым.  Строго  говоря,  такой  подход  справедлив  для  установившихся  режимов  работы  двигателя,  но  с  высокой  степенью  достоверности  он  может  быть  распространен и на динамические режимы.

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

Рис.3.12. Эквивалентная схема замещения асинхронного двигателя с учетом потерь в стали

Анализ  соотношения  параметров  представленной  модели  АД  показывает,  что  постоянная  времени  эквивалентного  контура  вихревых  токов много меньше остальных электромагнитных постоянных времени.  Это  позволяет  пренебречь  влиянием  динамики  контура  вихревых  токов на электромагнитные динамические процессы двигателя. В связи  с  этим  рассмотрим  важный  частный  случай,  когда  влияние  вихревых  токов  учитывается  только  одним  активным  сопротивлением Rec  .  С учетом условия  Lec=0  после преобразования (3.21) — (3.28) и записи  уравнений относительно

  Математическое описание АД с учетом потерь в стали,  получим

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

где  ψm ⎯ модуль вектора потокосцепления взаимоиндукции.

   Уравнения (3.31) — (3.33),  (3.29), (3.30)  образуют  систему,  удобную для расчета динамических процессов в частотно-управляемом АД  с  учетом  потерь  в  стали  и  насыщения  цепи  намагничивания.  При  выборе  ортогональной  двухфазной  системы  координат  получим  систему  из семи дифференциальных уравнений. Расчет может выполняться одним  из  численных  методов  приближенного  интегрирования.  Шаг  интегрирования выбирается из условия

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

    Так как шаг интегрирования, выбранный из условия (3.34), доста точно мал, а потокосцепление взаимоиндукции представляет собой от носительно  медленно  изменяющуюся  переменную (в  сравнении  с  на пряжением и токами статора и ротора), то с высокой точностью можно принять допущение

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

   где ψmk,ψmk-1 — модули вектора потокосцепления взаимоиндукции на  соседних шагах расчета.

   В результате алгоритм расчета уравнений математической модели  становится безытерационным.

   В случае отсутствия симметрии в питающих напряжениях и независимом  питании  статорных  обмоток  систему  уравнений (3.31) —  (3.33), (3.29), (3.30) нужно дополнить уравнением тока статора нулевой  последовательности  фаз.  В  случае  если  в  рабочих  режимах  электропривода частота тока ротора и амплитуда тока статора выходят  за пределы установленных выше ограничений, для адекватного описания динамических процессов в системе уравнений учитываются статические  зависимости

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

  полученные на уточненной модели АД с учетом его конструкции.

В  качестве  иллюстрации  работы  модели  на  рис.3.13,а  приведены  временные  диаграммы  электромагнитного  момента  и  скорости  двигателя 4А250S4У3  мощностью 75  кВт  в  режиме  прямого  пуска  без  нагрузки.  Для  сравнения  на  рис.3.13,б  изображены  временные  диаграммы, которые были получены на традиционной модели Парка—Горева с  постоянными  значениями  параметров,  взятыми  для  номинального  режима  работы  двигателя.  Существенные  отличия  главным  образом  определяются  влиянием  эффектов  вытеснения  тока  ротора,  насыщения  магнитной системы основным магнитным потоком и потоками рассеяния.

%D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B91 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

Рис.3.13.  Временные  диаграммы  прямого  пуска  АД 4А250S4У3,  полученные  на  уточненной  динамической  модели (а)  и  на  традиционной  модели  Парка⎯Горева (б)

Определение  коэффициентов  потерь  в  стали  от  вихревых  токов  и  гистерезиса  осуществляется  расчетным  путем  на  основе  конструктивных  параметров  двигателя  или  экспериментально.  В  простейшем  случае для этого достаточно определить потери в стали в двух точках частотного  диапазона  при  работе  двигателя  в  режиме  холостого  хода  с  напряжением, формируемым по закону

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

     В  целях  повышения  точности  данного  способа  оценки  коэффициентов  потерь  частота  напряжения  в  точках  измерения  выбирается  таким  образом,  чтобы  частотный  отрезок  между  точками  измерения  перекрывал  значительную  часть  либо  весь  диапазон  рабочих  частот  электропривода.  Расчет  коэффициентов  потерь  выполняется  с  помощью решения системы из двух алгебраических уравнений:
 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

  где   f1,f2  —  частоты,  при  которых  производятся  измерения;

  Rm,Rm2  —  сопротивления,  совокупно  учитывающие  потери  в  стали  от  вихревых  токов  и  гистерезиса  на  частотах f1,f2 ,  включенные  параллельно  контуру  намагничивания  традиционной  Т-  образной  схемы  замещения фазы АД.

  С потерями в стали параметры связаны следующим выражением:

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

   где  Pc , Pec , Ph—  потери  в  стали  суммарные,  от  вихревых  токов,  от  гистерезиса; m — число фаз АД,  Em— ЭДС взаимоиндукции.

   Строго  говоря,  для  вычисления  потерь  от  гистерезиса  должна  использоваться  не  вся  ЭДС  взаимоиндукции

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

    а  только  одна ее составляющая

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали

представляющая собой ЭДС вращения  вектора  потокосцепления  взаимоиндукции.  Так  как  другая,  трансформаторная  часть  ЭДС

   Математическое описание АД с учетом потерь в стали

   которая  появляется  в  динамических режимах, сопровождаемых изменением модуля потокосцепления,  обычно мала по отношению к ЭДС вращения в рабочих режимах привода, то такое допущение не является грубым.

 Математическое описание АД с учетом потерь в стали— модуль,  единичный  направляющий  вектор  и  частота  вращения  вектора  потокосцепления взаимоиндукции.

     Если  измерения  потерь  в  стали (расчет  сопротивлений Rm ,  учитывающих  потери  в  стали)  произведены  в  нескольких  точках  частотного диапазона электропривода, то вычисление коэффициентов потерь  от гистерезиса и вихревых токов выполняется на основе минимизации  среднеквадратического  значения  относительной  погрешности  потерь  или  расчетных  сопротивлений  .   Для  АД 4А250S4У3  получены  следующие  значения  коэффициентов  потерь:  Rec= 288 ом,   kh=0,706 Гн.

    Рассмотренная  модель  может  использоваться  для  адекватного  описания  динамических  процессов  в  асинхронном  электроприводе  с  управлением от преобразователя частоты во всех типовых режимах регулирования  переменных.  За  счет  учета  потерь  в  стали  модель  позволяет  осуществлять  точный  анализ  энергетических  характеристик  привода как в статике, так и в динамике. С учетом ограничений на частоту  тока ротора  и  амплитуду  тока  статора  упрощенная  версия модели  может  использоваться  для  решения  задач  синтеза  системы  управления  электроприводом.  Модель  была  апробирована  в  составе  модели  асинхронного  электропривода  с  частотным  и  векторным  управлением.  Достигнута  хорошая  сходимость  результатов  моделирования  с  экспериментальными  данными,  полученными  на  лабораторной  установке.  Лабораторная  установка  включает  асинхронный  двигатель  4А112МА6У3 мощностью 3 кВт, преобразователь частоты серии ЭПВ ,  реализующий  как  частотное,  так  и  векторное  управление  электроприводом,  нагрузочный  агрегат  и  контрольно-измерительную  аппаратуру.  Все  необходимые  для  построения  модели  параметры  определяются в процессе автоматической настройки привода на параметры  подключенного двигателя.