Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки


Начнем рассмотрение электромагнитных процессов в синхронном двигателе с наиболее простого случая, когда демпферная обмотка на роторе отсутствует. Будем рассматривать двигатель с явнополюсным ротором, имея в виду, что для перехода от явнополюсной к неявнополюсной машине достаточно  в математическом описании двигателя приравнять друг другу индуктивности  обмотки статора по обеим осям.

Введем в рассмотрение систему координат (d, q), связанную с ротором и  вращающуюся вместе с ним. Ее скорость в электрическом пространстве всегда равна синхронной скорости  Zpω=ω0эл. Система координат (d, q) в математическом описании синхронного двигателя играет ту же роль, что система  координат (d, q),  вращающаяся  синхронно  с  вектором  потокосцепления  ротора,  в математическом описании двигателя асинхронного.

Поскольку  обмотка  статора  синхронного  двигателя  принципиально  не  отличается от статорной обмотки асинхронного двигателя, уравнение равновесия напряжений  статора может быть непосредственно использовано в математическом  описании  синхронного  двигателя,  если  входящие  в  него  пространственные векторы представить через их проекции на оси координат:   Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

В отличие от асинхронного двигателя, обмотка ротора которого обтекается трехфазным переменным током с угловой частотой абсолютного скольжения  ωs , в обмотке возбуждения синхронной машины протекает постоянный ток. Напряжение на обмотке возбуждения  Uf ,  ток в ней  If  и потокосцепление ротора Ψf  могут быть представлены пространственными векторами,  неподвижными  относительно  ротора  и  вращающимися  вместе  с  ним,  а следовательно, вместе с системой координат (d, q). В этом смысле они не отличаются  от  пространственных  векторов,  образованных  в  результате  рассмотрения трехфазной системы статорных напряжений, токов и потокосцеплений. Поэтому, направив ось d по оси обмотки возбуждения, т. е. по вектору  потокосцепления  ротора,  и  совпадающим  с  ним  по  направлению  векторам  напряжения  и  тока  возбуждения,  роторные  величины,  связанные между  собой можно  рассматривать  как  проекции  пространственных  векторов  на  ось  координат d.

Для  рассмотрения  связи  между  токами  и  потокосцеплениями  удобно  воспользоваться  моделью  двигателя,  представленной  на  рис.4.1.  В  модели  трехфазная  обмотка  статора  заменена  двумя,  неподвижными  относительно  вращающейся системы координат (d, q) обмотками, которые характеризуются  активным  сопротивлением  Rs   и  индуктивностями  Lsd   и  Lsq . Оси  этих  обмоток направлены по осям координат (d, q). К ним приложены напряжения  постоянного тока по прямой и квадратурной осям  Usd  и Usq , в результате  чего по обмоткам протекают токи  Isd  и  Isq . К обмотке ротора с сопротивлением  Rf   и  индуктивностью Lf   приложено  напряжение  возбуждения  Uf ,  ток в ней обозначен как  If .  Из рис.4.1 видно, что при принятом направлении осей координат потокосцепление статора по оси d определяется токами  Isd  и  If , а по оси  q — только током Isq .

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмоткиРис.4.1. Модель синхронного двигателя во вращающейся системе координат

  С  учетом  изложенного  математическая  модель  электромагнитных  процессов  в  синхронном  двигателе  без  демпферной  обмотки  может  быть представлена в виде  системы уравнений для проекций обобщенных векторов на оси вращающейся системы координат:

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

где Rs, Rf— сопротивления  фазы  обмотки  статора  и  обмотки  возбу-sR fR ждения соответственно;       Lsd , Lsq и Lf —  индуктивности обмоток статора  по  осям  d  и  q  и  полная  индуктивность  обмотки  возбуждения  соответственно;  Mdf— коэффициент взаимной индукции между обмоткой возбуждения и обмоткой статора по оси d,  Mdf=Mfd .

Обычно  в  каталогах  на  синхронные  машины  параметры  даются  в  относительных  единицах.  Поэтому  целесообразно  при  рассмотрении  математического описания электромагнитных процессов в синхронном  двигателе также перейти к относительным единицам, т. е. нормировать  уравнения,  входящие  в  его  математическое  описание.  Базовые  значения,  относительно  которых  выполняется  нормирование,  должны  быть  выбраны  так,  чтобы  максимально  упростить  исходные  уравнения  при  сохранении  их  соответствия  физическим  процессам,  происходящим  в  двигателе.  Для  нормирования  уравнений (4.1)...(4.6) базовые  значения  величин выбраны следующим образом:

  • базовое напряжение на статоре  Usb=Usn*SQRT (2)=Isb*Zb ;
  • базовый ток статора  Isb=SQRT (2)*Isn ;
  • базовая угловая частота напряжения на статоре  ω0эл.б0эл.н=2*pi*Isn ;
  • базовое потокосцепление обмоток статора  Ψ=Usb / ω0эл.б ;
  • базовое сопротивление  Zb= Usb /Isb = ω0эл.б*Lb ;
  • базовая индуктивность обмотки статора  Lb = Ψ/ ω0эл.б;
  • базовый ток возбуждения  Ifb = Usb /(ω0эл.б*Mdf) ;
  • базовое напряжение возбуждения Usf = Rf*Ifb ;
  • базовое потокосцепление обмотки возбуждения  Ψfb = Lf*Lfb .

В этих выражениях базовая индуктивность статора определена как  индуктивность,  при  которой  базовый  ток  статора  создает  базовое  потокосцепление,  а  базовый  ток  возбуждения —  как  ток  в  обмотке  возбуждения, при котором на холостом ходу при базовой скорости двигателя  индуцируется  базовое  напряжение.  Индексом «н»  помечены  номинальные значения величин.

Системы уравнений (4.1)...(4.6) в целях перехода к относительным  единицам  преобразуются  делением  всех  переменных  на  их  базовые  значения, а там, где это требуется, умножением на соотношения параметров, равные единице:
 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

Учитывая соотношения между базовыми значениями величин, получим  систему  уравнений  в  относительных  единицах,  описывающих  электромагнитные процессы в синхронном двигателе во вращающейся  с синхронной скоростью системе координат (относительные величины  обозначены  теми  же  символами,  которыми  они  обозначены  в  абсолютных единицах, но помечены чертой сверху):

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

где  Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки—  относительная  частота  напряжения  на  статоре,  Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки ;

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки —  активное  сопротивление  обмотки  статора,  Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки;

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки —  синхронное  сопротивление  статора  по  продольной  оси,  Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки ;

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки —  синхронное  сопротивление  статора  по  поперечной  оси,  Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки;

Tf —  постоянная  времени  обмотки  возбуждения, Tf = Lf/Rf ;

σf —  коэффициент  рассеяния  в  магнитном  контуре  обмотки  возбуждения  и  обмотки  статора  по  оси  d,

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки— сомножитель, равный  Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

При  преобразованиях  учтено,  что  сомножитель

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

Для электромагнитного момента имеем

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

Выбрав  базовое  значение  момента равным

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

и поделив на него обе части этого выражения, получим выражение для  момента в относительных единицах:
 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

Основное уравнение механики привода при выбранном  Мб и базовом  значении  угловой  скорости

ωб =  ω0эл.б  может  быть  переписано в виде
 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

или в нормированной форме:

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

где  Tm— механическая постоянная времени привода, Tm = J*ωб*/Mб .

В  отличие  от  асинхронного  двигателя,  в  котором  при  изменении  момента нагрузки на валу изменяется его скорость, в синхронном двигателе  изменение  нагрузки  сопровождается  изменением  углового  положения  ротора  и  связанного  с  ним  пространственного  вектора  потокосцепления  ротора  относительно  вектора  потокосцепления  статора  при неизменной скорости. В режиме идеального холостого хода векторы  потокосцепления  ротора  и  статора  совпадают  в  пространстве.  Как  показано  на  рис.4.2,  при  наличии  нагрузки  на  валу  двигателя  вектор  потокосцепления  ротора  отстает  от  вектора  потокосцепления  статора  на  некоторый  угол  θ ,  называемый  углом  нагрузки.  Если  рассматривать  установившийся  режим  и  пренебречь  активным  сопротивлением  обмотки  статора,  то,  как  следует  из  равенств (4.1)  и (4.2),  статорное  напряжение представляет собой производную от потокосцепления статора,  и,  следовательно,  вектор  напряжения  на  статоре  опережает  вектор  потокосцепления  статора  на  угол π/2 . Изменение  нагрузки  при  постоянном  модуле  вектора  напряжения

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

приводит  к  изменению соотношения между его проекциями на оси вращающейся системы  координат

(d, q),  которые  в  относительных  единицах  определяются как

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

Угол  нагрузки,  измеряемый  в  радианах,  определяется  через  интеграл от разности мгновенных значений скоростей поля статора и ротора  в  электрическом  пространстве,  существовавшей  в  течение  времени  переходного процесса, связанного с изменением нагрузки:

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

Рис.4.2. Пространственная векторная диаграмма синхронного двигателя

   Через скорости в относительных единицах выражение для угла  θ   в радианах запишется в операторной форме:

 Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки
Структурная  схема  электропривода  с  синхронным  двигателем  без  демпферной  обмотки   во  вращающей  системе  координат  и  при  питании от источника бесконечной мощности показана на рис.4.3.

matematicheskoe opisanie sinxronnogo dvigatelya bez dempfernoj obmotk Математическое описание синхронного двигателя без демпферной обмотки

 

  Рис.4.3. Структурная схема электропривода с синхронным двигателем без демпферной обмотки во вращающейся системе  координат