Модель АД в естественных координатах


Запись дифференциальных уравнений равновесия напряжений в  фазовых координатах обеспечивает ряд преимуществ.

  1.  Все  величины  в  системе  уравнений  имеют  свой  физический  смысл  и  реальные  значения (точнее,  это  относится  только  к  переменным статорных обмоток, поскольку короткозамкнутая обмотка ротора,  естественно, не имеет трех отдельных фаз).
  2.  Такая запись уравнений позволяет учесть все виды несимметрии  параметров обмоток и питающих напряжений.
  3.  Существует возможность выполнять расчеты электромагнитных  и  электромеханических  процессов  в  статических  и  динамических  режимах работы при питании от сети и источников с несинусоидальной  формой выходного напряжения.  Эквивалентная  схема  трехфазной  асинхронной  машины  представлена на рис.3.1.

 Модель АД в естественных координатах

 

Рис.3.1. Эквивалентная схема трехфазной асинхронной машины

 

Уравнения  равновесия  напряжений  для  фаз  статора  и  ротора  запишутся в виде

 Модель АД в естественных координатах

где UA — мгновенное значение напряжения на зажимах фазы А;
IA (Ia) — ток фазы А (фазы а);
ΨA  ( Ψa) — полное потокосцепление фазы А (фазы а);
RА (Rа) — активное сопротивление фазы А статора (фазы а ротора).

Выражения для потокосцеплений статора и ротора имеют вид

 Модель АД в естественных координатах

 Модель АД в естественных координатах

где γ — угол между осями обмоток А и а;
LA, LB, LC — индуктивности фаз статора;
Lа, Lb, Lc — индуктивности фаз ротора;

МАВ,  МАС,  МВС, MBA, MCA, MCB    —  взаимоиндуктивности  между  обмотками статора;

Мab, Мac, Мbc, Mba, Mca, Mcb — взаимоиндуктивности между обмотками  ротора;

МAa, МBa, МbA, … — максимальная величина взаимоиндуктивности между обмотками статора и  ротора.

Заметим,  что  уравнения (3.1), (3.2),  (3.3)  пригодны  для  описания  процессов  в машине  с  учетом  несимметрии  в  параметрах  обмоток и  в  системе питания.

Учтем  условие  симметрии  обмоток  двигателя  и  условия  симметрии  токов  статора  и  ротора:

 Модель АД в естественных координатах

По  условию симметрии обмоток
 Модель АД в естественных координатах

Рассмотрим магнитный поток фазы А статора, создаваемый только  обмотками  статора,  с  учетом  условия  симметрии  токов  статора (рассматривается только часть общего потока, сцепленного с фазой статора. Такой режим получается в предположении, что обмотки ротора разомкнуты):
 Модель АД в естественных координатах

где  Модель АД в естественных координатах—  индуктивности  фазной  обмотки  статора  от  поля  рассеяния и поля главного потока. Взаимная  индуктивность  между  любыми  двумя  обмотками  статора  вычисляется  с  учетом  пространственного  положения  обмоток  по  выражению

 Модель АД в естественных координатах

где   Модель АД в естественных координатах —  полная  эквивалентная  индуктивность  фазы  статора,  включающая  индуктивность  от  поля  рассеяния,  от  главного  потока, созданного током самой обмотки, и от потоков, возникающих  под действием токов двух других обмоток статора.   Таким  образом,  взаимная  индуктивность  или  индуктивность  от  главного магнитного потока одной фазы трехфазной машины, вследствие влияния токов в двух других фазах, в  23  раза больше индуктивности одной фазы, взятой отдельно.  Аналогично  для  фаз  В  и  С  статора  получим
 Модель АД в естественных координатах

а  для  фаз  ротора  будем  иметь

 Модель АД в естественных координатах

 Модель АД в естественных координатах— полная эквивалентная индуктивность фазы ротора,  включающая  индуктивность  от  поля  рассеяния,  от  главного  потока,  созданного  током  самой  обмотки,  и  от  потоков,  возникающих  под действием токов двух других обмоток ротора.  С учетом приведения обмотки ротора к числу витков обмотки статора можно записать:

 Модель АД в естественных координатах—  эквивалентная взаимная индуктивность.

Заметим,  что   Модель АД в естественных координатах—  это  параметры  традиционной  Т-  образной схемы замещения асинхронного двигателя (АД).   В итоге выражения (3.2), (3.3) для потокосцеплений  статора и ротора могут быть представлены в следующем виде:
 Модель АД в естественных координатах

 Модель АД в естественных координатах

 

Электромагнитный  момент  асинхронной  машины  может  быть  найден  как  частная  производная  по  геометрическому  углу  от  общего  запаса электромагнитной энергии машины. Электромагнитная энергия  обмоток  асинхронной  машины  может  быть  определена  по  соотношению
 Модель АД в естественных координатах

Отсюда электромагнитный момент асинхронного двигателя
 Модель АД в естественных координатах

где  Zp — число пар полюсов двигателя.
Уравнение движения привода запишется как
 Модель АД в естественных координатах

где Мс — статический момент нагрузки;

ω — угловая частота вращения ротора, рад/с;

J — момент инерции электропривода, приведенный к валу двигателя.

Выражения (3.1), (3.4) — (3.7)  образуют  полную  систему  уравнений асинхронной машины, представленную в естественных координатах.  Дальнейшее упрощение полученной системы уравнений выполняется следующим образом:

  1.  из  уравнений  исключаются  фазные  значения  напряжений (их  использование  не  всегда  удобно  в  связи  с  различными  способами  включения  обмоток  и  неопределенностью  потенциала  общей  точки  при отсутствии ее зануления в схеме включения обмоток в «звезду»);
  2.  при выполнении условия симметрии токов из уравнений исключаются все переменные, относящиеся к одной из фаз статора и ротора,  например к фазе С.

Если полученные уравнения записать относительно токов двух фаз  статора  и  двух  фаз  ротора,  то  в  результате  получим  систему  следующих уравнений:

 

 Модель АД в естественных координатах

 Модель АД в естественных координатах

 Модель АД в естественных координатах

 Модель АД в естественных координатах

 Модель АД в естественных координатах

 

 

 

 Модель АД в естественных координатах

Механическая часть двигателя представляется следующими выражениями:

 Модель АД в естественных координатах

Основным  недостатком  математических  моделей  в  естественных  координатах  является  их  относительная  сложность,  связанная  с  наличием  периодических  коэффициентов  в  дифференциальных  уравнениях. Более простым способом описать асинхронную машину является преобразование из трехфазного описания к двухфазному.