Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат


Рассмотрим векторную форму представления переменных и координатные преобразования на примере идеализированной трехфазной симметричной неявнополюсной машины переменного тока, фазные обмотки которой получают питание от автономных источников напряжения. Введем абстрактные алгебраические векторы-столбцы, составленные из мгновенных значений напряжений источников питания, токов и потокосцеплений фазных обмоток статора и ротора:

 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
Назовем их векторами фазных (непреобразованных) величин. Верхние индексы при векторах указывают, что переменные рассматриваются в естественных координатах статора и ротора соответственно. Fs, Fr , Оперировать с векторами непреобразованных величин не удобно по следующим причинам:
1. Уравнения связи между потокосцеплениями и токами содержат тригонометрические функции углового положения ротора относительно статора, т.е. периодически изменяются при вращении ротора.
2. В общем случае во всех координатах присутствует симметричная составляющая ненулевой последовательности фаз (намагничивающая, создающая основной магнитный поток) и симметричная составляющая нулевой последовательности (нейтральная, не создающая основного магнитного потока).
Разделение этих составляющих в трехфазной симметричной машине может выполняться следующим образом:
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
где XmF,XnF симметричная и несимметричная составляющие вектора XF; M, N— матрицы разложения. Данное выражение представляет собой разложении линейно независимой системы переменных  Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
на две линейно зависимые подсистемы, компоненты которых связаны следующими соотношениями:  Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
Трехфазная симметричная подсистема может быть геометрически представлена на плоскости. Для ее описания достаточно двух линейно независимых координат. Полная несимметричная трехфазная система может быть адекватно представлена только в трехмерном пространстве. Представим векторную переменную
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
в трехфазной ортогональной (декартовой) системе координат, образованной направляющими (единичными) векторами  Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат (рис. 1.1).
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
Рис.1.1. Геометрическое представление преобразующего вектора в декартовой системе координат
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
Векторы  Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат назовем векторами, изображающими фазные токи, а  Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат— результирующим изображающим вектором. Выполним разложение векторной переменной на намагничивающую и нейтральную составляющие:
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
— изображающие векторы намагничивающих составляющих фаз;
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат
— изображающие векторы нейтральных составляющих фаз.Геометрическая интерпретация этого разложения изображена на рис.1.2.
Все изображающие векторы нейтральных составляющих фаз направлены вдоль одной линии L, находящейся на равном удалении от осей декартовой системы координат. Ось 0L образует с осями системы координат 0abc углы
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат .
Нетрудно убедиться, что изображающие векторы намагничивающей и нейтральной составляющих каждой фазы перпендикулярны друг другу, их скалярные произведения равны нулю:
 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат

 %D0%91%D0%B5%D0%B7%D1%8B%D0%BC%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат

Рис.1.2. Геометрическая интерпретация разложения результирующего вектора на намагничивающую и нейтральную составляющие

Оси намагничивающих составляющих фаз  Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат лежат в одной плоскости  Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат, проходящей через начало координат и ортогональной к линии L. Причем взаимное расположение этих осей на плоскости аналогично взаимному расположению магнитных осей фазных обмоток статора симметричной электрической машины. Если совместить плоскость P с поперечным сечением машины, то получим традиционную симметричную трехфазную систему координат (a,b,c), оси которой отстоят друг от друга на угол 2pi/3 . При этом ось нейтральных составляющих 0L будет совпадать с продольной осью машины (направлена вдоль вала). Можно считать, что традиционная трехфазная система координат получается из декартовой путем проецирования ее осей на плоскость P.
Таким образом, получено корректное геометрическое представление электромагнитных переменных машины переменного тока, не противоречащее, а, наоборот, дополняющее ее традиционное геометрическое представление. Заметим, что для корректного математического описания и геометрической интерпретации трехфазных машин переменного тока целесообразно двойственное представление переменных, с одной стороны, как трехмерных геометрических радиус-векторов

 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат

изображающих напряжения, токи и потокосцепления в трехмерном векторном пространстве, а с другой стороны, в виде алгебраических вектор-столбцов

 Понятие результирующего вектора и его представление в различных системах координат

компоненты которых численно равны координатам этих радиус-векторов в различных базисах векторного пространства. Каждое из этих представлений имеет свой специфический математический аппарат, и поэтому можно говорить лишь о взаимном соответствии этих представлений.