Преобразование уравнений асинхронного двигателя


Наличие  периодических  коэффициентов  перед  переменными  в  уравнениях  трехфазной  машины  заставило  искать  пути  упрощения  системы с тем, чтобы получить дифференциальные уравнения с постоянными  коэффициентами.  Для  этого  следует  осуществить  замену  переменных путем их координатного преобразования.  Предположим,  что  система  уравнений,  записанная  относительно  новых переменных, описывает какую-то идеализированную асинхронную машину, для которой напряжения, токи и потокосцепления связаны с напряжениями, токами и потокосцеплениями реальной асинхронной  машины  искомыми  формулами  замены  переменных (координатных преобразований).

Поскольку дифференциальные уравнения идеализированной асинхронной машины не содержат периодических коэффициентов, то можно предположить, что ротор такой машины неподвижен относительно  статора.  Действительно,  периодические  коэффициенты  появляются  вследствие изменения взаимного расположения обмоток статора и ротора.

Далее  положим,  что  статор  и  ротор  идеализированной  машины  вращаются  в  пространстве  с  произвольной  скоростью  ωk .  Можно  предположить,  что  величина  скорости  ωk   меняет  вид  уравнений,  упрощая или усложняя их.

Допустим,  что  вводимая  идеализированная  машина  двухфазная  (рис.3.2)  и  эквивалентна  трехфазной  реальной  машине  по  намагничивающим  силам,  создаваемым  как  токами  обмотки  статора,  так  и  токами  ротора.  Обмотки  статора  и  ротора  неподвижны  друг  относительно  друга  и  расположены  вдоль  осей  координатной  системы ( x ,y)  причем обе оси в общем случае могут вращаться в пространстве с произвольной  скоростью  ωk .  В  каждую  обмотку  включены  добавочные  электродвижущие силы  , которые и учитывают вращение ротора относительно  статора  в  реальной  асинхронной  машине,  а  также  и  величину скорости вращения  ωk  координатной системы ( x, y).  Для преобразования системы дифференциальных уравнений трехфазной  реальной  асинхронной  машины  необходимо  решить  две  задачи:

  • — прежде всего необходимо найти искомые формулы записи переменных;
  • -  далее  следует,  пользуясь  формулами  преобразования,  получить  систему  дифференциальных  уравнений  относительно  новых  переменных.  В  качестве  исходной  возьмем  систему  уравнений  в  естественных  координатах:

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 %D0%91%D0%B5%D0%B7 %D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8 11 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

Рис.3.2. Эквивалентная схема идеализированной асинхронной машины

  Уравнение  напряжений  статорной  цепи  умножим  слева  на  матрицу    координатных  преобразований  из  системы (А,В,С)   в  систему  (x,y,z):

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

  Верхний  индекс «h»  обозначает  принадлежность  векторной  переменной  к  ортогональной  системе  координат (x,y,z),  вращающейся  с  произвольной скоростью  ωk .

   Последнюю  составляющую  преобразованного  уравнения  статорной цепи рассмотрим подробнее.           Наиболее хорошо физический смысл преобразования производной  виден,  если  воспользоваться  аппаратом  представления  векторной  переменной в комплексной плоскости (хотя преобразование может быть  получено и непосредственно путем выполнения алгебраических действий с компонентами вектора).   Рассмотрим  представление  результирующего  вектора  на  комплексной плоскости (рис.3.3).

  Преобразование уравнений асинхронного двигателя
Рис. 3.3.  Представление  результирующего  вектора  на  комплексной  плоскости

Совместим  действительную  ось  с  осью  фазы  А,  тогда  вектор  Преобразование уравнений асинхронного двигателя может быть представлен в следующем виде:
 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

где   Преобразование уравнений асинхронного двигателя —  представление вектора   Преобразование уравнений асинхронного двигателя  в естественной и преобразованной  системах  координат;   Преобразование уравнений асинхронного двигателя—  операторы  прямого  и  обратного преобразования из базиса (А,В,С) в базис Преобразование уравнений асинхронного двигателя

  Для производной вектора  Преобразование уравнений асинхронного двигателя  в базисе ( x, y) можно записать

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

Умножение  вектора  на  оператор j  соответствует  его  повороту  на угол pi/2  (рис. 3.4)  и  может  быть  представлено  в  виде
 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

Рис.3.4. Поворот оператора j на угол pi/2

С  учетом  этого  преобразованные  уравнения  статорной  цепи  в  координатах ( x,y) примут вид

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

Уравнение для нулевой последовательности фаз (ось z) запишется как

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

Аналогичные  преобразования,  выполненные  для  уравнений  роторной  цепи,  записанных  в  естественных  координатах  ротора,  позволяют  получить  следующие  уравнения  в  преобразованной  системе  координат (x,y,z):

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

В  векторно-матричной  форме  записи  уравнения  статора  и  ротора примут вид
 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

В  частном  случае  симметрии  фазных  токов  из  системы  исключаются уравнения для нулевой последовательности фаз (по оси z) и они  могут быть компактно записаны в векторной форме:

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

Выполним переход в новую систему координат для уравнений потокосцеплений  статора  и  ротора.  Для  потокосцеплений  статора  выражение    Преобразование уравнений асинхронного двигателя  умножим  на  Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

  Затем  сложим  все  три  уравнения.  После преобразования получим потокосцепление статора по оси  x :
 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 где   Преобразование уравнений асинхронного двигателя— полная эквивалентная индуктивность  фазы статора

(  Преобразование уравнений асинхронного двигателя— полная индуктивность рассеяния фазы статора (с  учетом  двух  других  его  фаз);

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя —  эквивалентная  взаимная  индуктивность).  Аналогичным путем можно получить потокосцепление статора по  оси  : y .

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

   Для нулевой последовательности фаз (по оси z) будем иметь

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

где   Преобразование уравнений асинхронного двигателя—  индуктивность  рассеяния  фазы  статора  для  нулевой  последовательности  фаз.  Она  немного  меньше  полной  индуктивности  рассеяния фазы статора  Преобразование уравнений асинхронного двигателя, так как не включает в себя потоки рассеяния  статора,  сцепленные  с  двумя  другими  фазами  статора.  Для  индуктивностей  рассеяния  можно  записать   Преобразование уравнений асинхронного двигателя  —  составляющая  полной  индуктивности  рассеяния  статора,  образованная  магнитными  потоками  рассеяния  фазы  статора,  имеющими  магнитную  связь  с  другими  обмотками  статора.  Соответственно   Преобразование уравнений асинхронного двигателя—  составляющая  полной  индуктивности  рассеяния  статора,  образованная  магнитными  потоками  рассеяния  фазы  статора,  не  имеющими  магнитной  связи с другими обмотками статора.  Проводя  аналогичные  преобразования  выражений  потокосцеплений  ротора,  найдем  выражения  для  потокосцеплений  ротора  соответственно по осям  x,y,z:
 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

где   Преобразование уравнений асинхронного двигателя — полная эквивалентная индуктивность фазы ротора

( Преобразование уравнений асинхронного двигателя — полная индуктивность рассеяния фазы ротора,  включающая  составляющие  от  потоков  рассеяния  ротора,  не сцепленных и сцепленных с другими фазами ротора).

  Выражение  для  электромагнитного  момента,  записанное  относительно преобразованных токов статора и ротора, будет иметь вид  .

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

     На основе уравнений связи можно записать формулу для момента  относительно  любой  пары  векторных  переменных,  составленной  из  следующего  набора:

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

  Например,  относительно  тока статора и потокосцепления ротора   Преобразование уравнений асинхронного двигателя

    Дополнив приведенные уравнения уравнением движения, получим  полную  систему  уравнений,  описывающую  асинхронную  машину  в  преобразованных координатах. В векторно-матричной форме записи

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

—  матрицы  индуктивностей  статора,  ротора,  намагничивания,  активных сопротивлений статора и ротора.

Для  частного  случая  симметричных  процессов  удобнее  пользоваться следующей формой записи уравнений:
 Преобразование уравнений асинхронного двигателя

 Дифференциальные  уравнения  электромагнитных  процессов  обычно  упрощают,  записывая  их  относительно  каких-либо  двух  векторных переменных состояния, исключая остальные с помощью уравнений  связи.  Рассмотрим  несколько  вариантов  более  удобной  записи  уравнений.